マルチンゲール中心極限定理の証明

今回は専門的な内容の記事になります。マルチンゲール中心極限定理は古典的な中心極限定理の拡張で、確率変数列の分布極限を求める際にしばしば役に立つ定理ですが、日本語の証明が載っているサイトが見当たらなかったので、ここでご紹介したいと思います。確率論、離散マルチンゲールの知識を前提とします。

補題1

最初の補題は、「はさみうちの原理」の確率収束バージョンです。証明は容易です。

補題1
\(X_n\)を実数値確率変数，\(c\)を実数とし，任意の\(\epsilon>0\)に対し，
\begin{align} Y_n\leq X_n \leq Z_n,~~Y_n\xrightarrow{P} c-\epsilon,~Z_n\xrightarrow{P} c+\epsilon \end{align}
なる確率変数\(Y_n,Z_n\)が存在したとすれば，\(X_n \xrightarrow{P}c\)となる．

＊特に
\begin{align} Y_n\leq X_n \leq Z_n,~~Y_n\xrightarrow{P} c,~Z_n\xrightarrow{P} c \end{align}
となる確率変数\(Y_n,Z_n\)が存在すれば，\(X_n \xrightarrow{P}c\)となる．

証明
任意の\(\delta>0\)に対し，\(\displaystyle \epsilon=\frac{\delta}{2}\)として上の\(Y_n,Z_n\)をとれば，
\begin{align} &P(|X_n-c|>\delta)=P(X_n-c> \delta)+P(X_n-c<-\delta)\\ &\leq P(Z_n-c> \delta)+P(Y_n-c<-\delta)\\ &\leq P(Z_n-(c+\delta/2)> \delta/2)+P(Y_n-(c-\delta/2)<-\delta/2)\to 0~(n\to \infty) \end{align}
だから示すべきことが言える．□

補題2

次の補題は、有名公式\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\)の一般化です。

補題2
複素数値確率変数列\(\{a_j^n\}_{j=1}^{N_n}~(n=1,2,\cdots)\)に対し，
(i) ある定数\(\alpha\)が存在して，\(\displaystyle \sum_{j=1}^{N_n}a_{j}^n\xrightarrow{P} \alpha~(n \to \infty)\)
(ii) \(\displaystyle \max_{1\leq j\leq N_n}|a_j^n|\xrightarrow{P} 0~(n \to \infty)\)
(iii) ある定数\(C\)が存在して，\(\displaystyle \sum_{j=1}^{N_n}|a_{j}^n|<C\)
が成り立つと仮定すると，
\begin{align} \prod_{j=1}^{N_n}(1+a_j^n)\to e^\alpha~(n \to \infty,~\mathrm{in}~L^1) \end{align}
となる．

証明
\(\displaystyle |z|<\frac{1}{2}\)に対し，\(z=0\)で0となる\(\log(1+z)\)の分枝をとれば，
\begin{align*}
\log(1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots
\end{align*}
よって，
\begin{align*}
|\log(1+z)-z|\leq \sum_{n=2}^\infty \frac{|z|^n}{n}=|z^2|\sum_{n=2}^\infty \frac{|z|^{n-2}}{n}\leq
|z^2|\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n}}=2|z|^2
\end{align*}
となるので，
\begin{align*}
&1_{\{\underset{j}{\mathrm{max}}|a_j^n|\leq \frac{1}{2}\}}\left|\log \prod_{j=1}^{N_n}(1+a_j^n)-\sum_{j=1}^{N_n}a_j^n\right|
=1_{\{\underset{j}{\mathrm{max}}|a_j^n|\leq \frac{1}{2}\}}\left|\sum_{j=1}^{N_n}(\log(1+a_j^n)-a_j^n)\right|\\
&\leq 2\sum_{j=1}^{N_n}|a_j^n|^2\leq 2\max_{1\leq j\leq N_n}|a_j^n|\sum_{j=1}^{N_n}|a_j^n|
\leq 2C\max_{1\leq j\leq N_n}|a_j^n|\xrightarrow{P} 0~(n\to \infty)
\end{align*}
いま条件(ii)より\(1_{\{\underset{j}{\mathrm{max}}|a_j^n|\leq \frac{1}{2}\}}\xrightarrow{P}1\)であるから，補題1より，
\begin{align*}
\log \prod_{j=1}^{N_n}(1+a_j^n)-\sum_{j=1}^{N_n}a_j^n \xrightarrow{P}0
\end{align*}
これと条件(i)により\(\displaystyle \log \prod_{j=1}^{N_n}(1+a_j^n)\xrightarrow{P} \alpha\)となるので，
\begin{align*}
\prod_{j=1}^{N_n}(1+a_j^n)\xrightarrow{P} e^\alpha~(n \to \infty)
\end{align*}
となる．さらに条件(iii)より，
\begin{align*}
\left|\prod_{j=1}^{N_n}(1+a_j^n)\right|\leq \prod_{j=1}^{N_n}(1+|a_j^n|)\leq \prod_{j=1}^{N_n}e^{|a_j^n|}=e^{\sum\limits_{j=1}^{N_n}|a_j^n|}<e^C
\end{align*}
だから\(\displaystyle \left\{\prod_{j=1}^{N_n}(1+a_j^n)\right\}\)は一様可積分となり，\(L^1\)収束も言える．□

マルチンゲール中心極限定理

いよいよ本題です。

マルチンゲール中心極限定理
\((\Omega^n,\mathcal{F}^n,P^n)~(n=1,2,\cdots)\)を確率空間とし，\(\mathbb{F}^n=\{\mathcal{F}_j^n\}_{j=0}^{N_n}\)をその上の情報増大系とする．また，\(X^n=\{X_j^n\}_{j=0}^{N_n}\)を\(\mathbb{F}^n\)に関する実数値マルチンゲールとし，\(E[(X_j^n)^2]<\infty\)とする．さらに
  \begin{align*}
    \xi_0^n=X_0^n,~\xi_j^n=X_j^n-X_{j-1}^n~(j=1,\cdots,N_n)
  \end{align*}
  に対し，次の条件を仮定する．
  (i) ある定数\(\sigma>0\)に対して，
  \begin{align*}
    \sum_{j=1}^{N_n}E[(\xi_j^n)^2|\mathcal{F}_{j-1}^n]\xrightarrow{P}\sigma^2~(n\to \infty)
  \end{align*}
  (ii) (条件付きLindeberg条件)
  \begin{align*}
    \forall \epsilon>0~~\sum_{j=1}^{N_n}E[(\xi_j^n)^21_{\{|\xi_j^n|>\epsilon\}}|\mathcal{F}_{j-1}^n]\xrightarrow{P}0~(n\to \infty)
  \end{align*}
  この時，
  \begin{align*}
    X_{N_n}^n\xrightarrow{d} N(0,\sigma^2)~(n\to \infty)
  \end{align*}
  が成り立つ．

証明の方針
特性関数を利用して分布収束を示します。さらに、条件(i)から、\(n\)を大きくしたときに
 \begin{align*}
    \sum_{j=1}^{N_n}E[(\xi_j^n)^2|\mathcal{F}_{j-1}^n]<2\sigma^2
  \end{align*}
となる確率は1に近づくので、この不等式が成り立つ範囲で証明すればよさそうです。そこで、新たに
\begin{align*}
   X_j^n1_{\left\{\sum\limits_{j=1}^{N_n}E[(\xi_j^n)^2|\mathcal{F}_{j-1}^n]<2\sigma^2\right\}}
  \end{align*}
という変数を考えたくなりますが、こうすると\(\mathcal{F}_j\)-可測性が失われてしまうので、少し工夫する必要があります。

証明　簡単のため\(E[X|\mathcal{F}_{j}^n]=E_j[X]\)と書く．また，
  \begin{align*}
    &\zeta_0^n=\xi_0^n,~\zeta_j^n=\xi_j^n1_{\left\{\sum\limits_{k=1}^jE_{k-1}[(\xi_k^n)^2]<2\sigma^2\right\}}~(j=1,\cdots,N_n)\\
    &Y_j^n=\sum_{k=0}^j\zeta_k^n
  \end{align*}
  とおく．\(\displaystyle X_{N_n}^n=\sum_{k=0}^{N_n}\xi_k^n\)であることに注意すると，条件(i)より，\(\delta>0\)に対し
  \begin{align*}
    P(|X_{N_n}^n-Y_{N_n}^n|> \delta)\leq P(X_{N_n}^n\neq Y_{N_n}^n)\leq P\left(\sum\limits_{k=1}^{N_n}E_{k-1}[(\xi_k^n)^2]\geq 2\sigma^2\right)\to 0
  \end{align*}
  よって\(X_{N_n}^n-Y_{N_n}^n\xrightarrow{P}0\)だから，\(Y_{N_n}^n\xrightarrow{d}N(0,\sigma^2)\)を示せばよい．そのために，
  \begin{align*}
    &R(x)=e^{ix}-1-ix,~~w_j^n=E_{j-1}[R(t\zeta_j^n)]~(t\in \mathbb{R},~j=1,\cdots,N_n)
  \end{align*}
  とおき，以下の順に証明を行う．
  (1) \(\displaystyle \sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}[(\zeta_j^n)^2]\xrightarrow{P} \sigma^2\)
  (2) \(\displaystyle \sum_{j=1}^{N_n}\left(w_j^n+\frac{t^2}{2}E_{j-1}[(\zeta_j^n)^2]\right)\xrightarrow{P} 0\)
  (3) (1)，(2)より，\(\displaystyle \sum_{j=1}^{N_n} w_j^n\xrightarrow{P} -\frac{\sigma^2}{2}t^2\)
  (4) \(\displaystyle \sum_{j=1}^{N_n}|w_j^n|\leq \sigma^2t^2\)
  (5) \(\displaystyle \max_{j=1,\cdots,N_n}|w_j^n|\xrightarrow{P}0\)
  (6) \(\displaystyle U_j^n=\prod_{k=1}^{j}(1-w_k^n)\)とおくと，(3),(4),(5)と補題2より\(U_{N_n}^n\xrightarrow{L^1} e^{\frac{\sigma^2}{2}t^2}\)
  (7) \(Z_j^n=e^{itY_j^n}U_j^n\)とおくと，\(E[Z_{N_n}^n]\to 1\)
  (8) (6),(7)より\(E[e^{itY_{N_n}^n}]\to e^{-\frac{\sigma^2}{2}t^2}\)となり，証明が完了する．

[(1)の証明)]:\(\delta>0\)に対し，
  \begin{align*}
    &P\left(\left|\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}[(\zeta_j^n)^2]-\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}[(\xi_j^n)^2]\right|>\delta\right)\\
    \leq &P(E_{j-1}[(\zeta_{N_n}^n)^2]\neq E_{j-1}[(\xi_{N_n}^n)^2])
    \leq P\left(\sum\limits_{k=1}^{N_n}E_{k-1}[(\xi_k^n)^2]\geq 2\sigma^2\right)\to 0
  \end{align*}
  より\(\displaystyle \sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}[(\zeta_j^n)^2]-\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}[(\xi_j^n)^2]\xrightarrow{P} 0\)だから，条件(i)により示すべきことが言える．

  [(2)の証明]:一般に\(x \in \mathbb{R}\)に対し，
  \begin{align*}
    \left|e^{ix}-\sum_{j=0}^m\frac{(ix)^j}{j!}\right|=\left|\int_0^x \frac{i^{m}e^{iu}}{m!}u^mdu \right|\leq\int_0^x \frac{1}{m!}u^mdu=\frac{x^{m+1}}{(m+1)!} 
  \end{align*}
となるので，
  \begin{align*}
    &\left|R(x)+\frac{1}{2}x^2\right|\leq \frac{1}{6}|x|^3\\
    &\left|R(x)+\frac{1}{2}x^2\right|\leq |R(x)|+\frac{1}{2}x^2\leq x^2
  \end{align*}
  である。よって，\(\epsilon>0\)に対して，
  \begin{align*}
    &\left|\sum_{j=1}^{N_n}\left(w_j^n+\frac{t^2}{2}E_{j-1}[(\zeta_j^n)^2]\right)\right|
    =\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}\left[\left|R(t\zeta_j^n)+\frac{1}{2}(t\zeta_j^n)^2\right|\right]\\
    =&\sum_{j=1}^{N_n}\left\{E_{j-1}\left[\left|R(t\zeta_j^n)+\frac{1}{2}(t\zeta_j^n)^2\right|1_{\{|\xi_j^n|>\epsilon\}}\right]+E_{j-1}\left[\left|R(t\zeta_j^n)+\frac{1}{2}(t\zeta_j^n)^2\right|1_{\{|\xi_j^n|\leq \epsilon\}}\right]\right\}\\
    \leq &\sum_{j=1}^{N_n}\left\{t^2E_{j-1}\left[(\zeta_j^n)^21_{\{|\xi_j^n|>\epsilon\}}\right]+\frac{t^3}{6}E_{j-1}\left[(\zeta_j^n)^31_{\{|\xi_j^n|\leq \epsilon\}}\right]\right\}\\
    \leq &t^2\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}\left[(\xi_j^n)^21_{\{|\xi_j^n|>\epsilon\}}\right]
    +\frac{\epsilon}{6}t^3\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}\left[(\xi_j^n)^2\right]\xrightarrow{P} \frac{\epsilon\sigma^2}{6}
  \end{align*}
  最後の不等号は，\((\xi_j^n)^2 \geq (\zeta_j^n)^2\)を用いた．いま\(\epsilon>0\)は任意なので，補題1.1より示すべきことを得る．

  [(4)の証明]:\(\displaystyle |R(x)|\leq \frac{1}{2}x^2\)に注意すると，
  \begin{align*}
    \sum_{j=1}^{N_n}|w_j^n|&\leq \sum_{j=1}^{N_n}E[|R(t\zeta_j^n)|]\leq \sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}[|R(t\zeta_j^n)|]\leq \frac{t^2}{2}\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}[(\zeta_j^n)^2]\\
    &\leq \frac{t^2}{2}\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}\left[(\xi_j^n)^21_{\left\{\sum\limits_{k=1}^jE_{k-1}[(\xi_k^n)^2]<2\sigma^2\right\}}\right]\\
    &=\frac{t^2}{2}\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}\left[(\xi_j^n)^2\right]1_{\left\{\sum\limits_{k=1}^jE_{k-1}[(\xi_k^n)^2]<2\sigma^2\right\}}\\
    &\leq \frac{t^2}{2}\times 2\sigma^2=\sigma^2t^2
  \end{align*}

  [(5)の証明]:再び\(\displaystyle |R(x)|\leq \frac{1}{2}x^2\)により，\(\epsilon>0\)に対して
  \begin{align*}
    |w_j^n|&\leq E_{j-1}[|R(t\zeta_j^n)|]\\
    &\leq \frac{t^2}{2}E_{j-1}[(\zeta_j^n)^2]
    =\frac{t^2}{2}\{E_{j-1}[(\zeta_j^n)^21_{\{|\zeta_j^n|\leq \epsilon}\}]+E_{j-1}[(\zeta_j^n)^21_{\{|\zeta_j^n|> \epsilon}\}]\}\\
    &\leq \frac{t^2}{2}\{\epsilon+E_{j-1}[(\zeta_j^n)^21_{\{|\zeta_j^n|> \epsilon}\}]\}\\
    &\leq \frac{t^2}{2}\left\{\epsilon+\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}[(\zeta_j^n)^21_{\{|\zeta_j^n|> \epsilon}\}]\right\}
  \end{align*}
  よって，
  \begin{align*}
    \max_{j=1,\cdots,N_n}|w_j^n|\leq \frac{t^2}{2}\left\{\epsilon+\sum_{j=1}^{N_n}E_{j-1}[(\zeta_j^n)^21_{\{|\zeta_j^n|> \epsilon}\}]\right\} \xrightarrow{P} \frac{t^2}{2}\epsilon
  \end{align*}
  で\(\epsilon>0\)は任意だから示すべきことを得る．

  [(7)の証明]:\(Z_0^n=1\)とおくと，\(Z_j^n=Z_{j-1}^ne^{it\zeta_n}(1+w_j^n)\)で\(Z_{j-1}^n,w_j^n\)は\(\mathcal{F}_{j-1}\)-可測だから，
  \begin{align*}
    E_{j-1}[Z_j^n]&=E_{j-1}[Z_{j-1}^ne^{it\zeta_n}(1-w_j^n)]=Z_{j-1}^n(1-w_j^n)E_{j-1}[e^{it\zeta_n}]\\
    &=Z_{j-1}^n(1-w_j^n)E_{j-1}[R(t\zeta_j^n)+1+it\zeta_j^n]\\
    &=Z_{j-1}^n(1-w_j^n)\{w_j^n+1+E_{j-1}[it\zeta_j^n]\}
  \end{align*}
  ここで，\(\{Z_j^n\}_j\)はマルチンゲールだから，\(E_{j-1}[\xi_j^n]=0\)
  \begin{align*}
    E_{j-1}[\zeta_j^n]=E_{j-1}\left[\xi_j^n1_{\left\{\sum\limits_{k=1}^jE_{k-1}[(\xi_k^n)^2]<2\sigma^2\right\}}\right]=E_{j-1}[\zeta_j^n]1_{\left\{\sum\limits_{k=1}^jE_{k-1}[(\xi_k^n)^2]<2\sigma^2\right\}}=0
  \end{align*}
  ゆえに，
  \begin{align*}
    E_{j-1}[Z_j^n]=Z_{j-1}^n(1-w_j^n)(w_j^n+1)=Z_{j-1}^n(1-(w_j^n)^2)
  \end{align*}
  両辺の期待値をとって，
  \begin{align*}
    E[Z_j^n]=E[Z_{j-1}^n]+E[Z_{j-1}^n(w_j^n)^2]
  \end{align*}
  となるから，\(|Z_{j-1}^n|=|U_{j-1}^n|\leq e^{\sigma^2t^2}\)より，
  \begin{align*}
    |E[Z_{N_n}^n]-1|\leq \sum_{j=1}^{N_n}|E[Z_j^n]-E[Z_{j-1}^n]|\leq \sum_{j=1}^{N_n}E[|Z_{j-1}^n||w_j^n|^2]
    \leq e^{\sigma^2t^2}E\left[\sum_{j=1}^{N_n}|w_j^n|^2\right]
  \end{align*}
  ここで，
  \begin{align*}
    \sum_{j=1}^{N_n}|w_j^n|^2\leq \max_{j=1,\cdots,N_n}|w_j^n|\sum_{j=1}^{N_n}|w_j^n|\leq \sigma^2t^2\max_{j=1,\cdots,N_n}|w_j^n|\xrightarrow{P}0
  \end{align*}
  であり，
  \begin{align*}
    \sum_{j=1}^{N_n}|w_j^n|^2\leq \left(\sum_{j=1}^{N_n}|w_j^n|\right)^2 \leq \sigma^4t^4
  \end{align*}
  より\(\displaystyle \left\{\sum_{j=1}^{N_n}|w_j^n|^2\right\}\)は一様可積分だから，\(\displaystyle E\left[\sum_{j=1}^{N_n}|w_j^n|^2\right]\to0\)
  ゆえに，\(|E[Z_{N_n}^n]-1| \to 0~(n\to \infty)\)を得る．

  [(8)の証明]:
  \begin{align*}
    E[e^{itY_n}]e^{\frac{\sigma^2}{2}t^2}=E[e^{itY_n}U_{N_n}^n]-E[e^{itY_n}(U_{N_n}^n-e^{\frac{\sigma^2}{2}t^2})]
  \end{align*}
  (7)より，(第1項)\(\to 1~(n \to \infty)\)，また第2項は，
  \begin{align*}
    |E[e^{itY_n}(U_{N_n}^n-e^{\frac{\sigma^2}{2}t^2})]|
    \leq E[|(U_{N_n}^n-e^{\frac{\sigma^2}{2}t^2}|] \to 0~(n \to \infty)
  \end{align*}
  だから，\(E[e^{itY_n}]e^{\frac{\sigma^2}{2}t^2} \to 1(n \to \infty)\)を得る．□